Autoregressiv Flytting Gjennomsnittet Ppt

Introduksjon til ARIMA nonseasonal modeller. ARIMA p, d, q prognose ligning ARIMA modeller er i teorien den mest generelle klassen av modeller for å prognose en tidsserie som kan gjøres for å være stasjonær ved differensiering om nødvendig, kanskje sammen med ikke-lineære transformasjoner for eksempel logging eller deflating hvis nødvendig En tilfeldig variabel som er en tidsserie er stasjonær hvis dens statistiske egenskaper er konstant over tid En stasjonær serie har ingen trend, dens variasjoner rundt dens gjennomsnitt har en konstant amplitude, og den svinger på en konsistent måte dvs. at kortsiktige tilfeldige tidsmønstre alltid ser like ut i statistisk forstand. Den sistnevnte tilstanden betyr at dets autokorrelasjonskorrelasjoner med sine egne tidligere avvik fra middelværdien forblir konstant over tid, eller tilsvarende, at dets effektspektrum forblir konstant over tid En tilfeldig variabel i dette skjemaet kan sees som vanlig som en kombinasjon av signal og støy, og signalet hvis det er tydelig kan være en patt ern med rask eller langsom gjennomsnittlig reversering eller sinusformet svingning eller rask veksling i tegn, og det kan også ha en sesongkomponent. En ARIMA-modell kan sees som et filter som forsøker å skille signalet fra støyen, og signalet er da ekstrapolert inn i fremtiden for å oppnå prognoser. ARIMA-prognose-ligningen for en stasjonær tidsserie er en lineær ie-regresjonstypekvasjon der prediktorene består av lag av den avhengige variabelen og eller lagrer prognosefeilene som er. Forutsatt verdi av Y en konstant og eller vektet sum av en eller flere nylige verdier av Y og eller en vektet sum av en eller flere nylige verdier av feilene. Hvis prediktorene bare består av forsinkede verdier av Y, er det en ren autoregressiv selvregressert modell, som bare er et spesielt tilfelle av en regresjonsmodell, og som kan forsynes med standard regresjonsprogramvare. For eksempel er en første-ordens autoregressiv AR 1-modell for Y en enkel regresjonsmodell der den uavhengige variabelen i s bare Y forsinket med en periode LAG Y, 1 i Statgraphics eller YLAG1 i RegressIt Hvis noen av prediktorene lags av feilene, er en ARIMA-modell det IKKE en lineær regresjonsmodell, fordi det ikke er mulig å spesifisere siste periode s feil Som en uavhengig variabel må feilene beregnes fra tid til annen når modellen er montert på dataene. Fra et teknisk synspunkt er problemet med å bruke forsinkede feil som prediktorer at modellens spådommer ikke er lineære funksjoner av koeffisienter, selv om de er lineære funksjoner i fortidens data. Således skal koeffisienter i ARIMA-modeller som inneholder forsinkede feil estimeres ved ikke-lineære optimaliseringsmetoder bakkeklatring i stedet for bare å løse et system av ligninger. Akronym ARIMA står for automatisk regressiv integrert Flytte gjennomsnittlig Lags av den stationære serien i prognosen ligningen kalles autoregressive vilkår, lags av prognosen feilene kalles glidende gjennomsnittlige vilkår og en tidsserie som trenger å bli differensiert for å bli gjort stasjonær, sies å være en integrert versjon av en stasjonær serie Tilfeldige gange og tilfeldige trendmodeller, autoregressive modeller og eksponentielle utjevningsmodeller er alle spesielle tilfeller av ARIMA-modeller. En ikke-sasonlig ARIMA-modell er klassifisert som en ARIMA p, d, q modell, hvor. p er antall autoregressive termer. d er antall ikke-soneforskjeller som trengs for stasjonar, og. q er antall forsinkede prognosefeil i prediksjonsligningen. Forutsigelsesligningen er konstruert som følger Først, la y betegne den forskjellen på Y som betyr. Merk at den andre forskjellen på Y d2-tilfellet ikke er forskjellen fra 2 perioder siden. Det er først den forskjellen som er den første forskjellen som er den diskrete analogen til et andre derivat, det vil si den lokale akselerasjonen av serien i stedet for den lokale trenden. Med hensyn til y er den generelle prognosekvasjonen her. De bevegelige gjennomsnittsparametrene s er definert slik at deres tegn er negative i ekv. Uasjon, etter konvensjonen som ble innført av Box og Jenkins. Noen forfattere og programvare, inkludert R-programmeringsspråket, definerer dem slik at de har pluss tegn i stedet. Når faktiske tall er plugget i ligningen, er det ingen tvetydighet, men det er viktig å vite hvilken konvensjon programvaren din bruker når du leser utdata Ofte er parameterne angitt der med AR 1, AR 2, og MA 1, MA 2 osv. For å identifisere riktig ARIMA-modell for Y begynner du ved å bestemme rekkefølgen av differensiering d som trenger å stasjonærisere serien og fjerne bruttoegenskapene til sesongmessigheten, kanskje i forbindelse med en variansstabiliserende transformasjon som logging eller deflating Hvis du stopper på dette punktet og forutser at differensierte serier er konstante, har du bare montert en tilfeldig tur eller tilfeldig Trendsmodell Den stasjonære serien kan imidlertid fortsatt ha autokorrelerte feil, noe som tyder på at noen AR-vilkår p 1 og eller noen nummer MA-termer q 1 også trengs i prognosekvasjonen. Prosessen med å bestemme verdiene p, d og q som er best for en gitt tidsserie, vil bli diskutert i senere avsnitt i notatene hvis koblinger er øverst på denne siden, men en forhåndsvisning av noen av de typer ikke-sasonlige ARIMA-modellene som ofte oppstår, er gitt nedenfor. ARIMA 1,0,0 førsteordens autoregressive modell hvis serien er stasjonær og autokorrelert, kanskje den kan forutsies som et flertall av sin egen tidligere verdi, pluss en konstant Forutsigelsesligningen i dette tilfellet er. som er Y regressert i seg selv forsinket av en periode Dette er en ARIMA 1,0,0 konstant modell Hvis gjennomsnittet av Y er null, vil ikke det konstante begrepet bli inkludert. Hvis skråningen er koeffisient 1 er positiv og mindre enn 1 i størrelsesorden skal den være mindre enn 1 i størrelsesorden hvis Y er stasjonær, beskriver modellen gjennomsnittsreferanseadferd, der neste periode s-verdi skal anslås å være 1 ganger så langt borte fra gjennomsnittlig som denne perioden s verdi Hvis 1 er negativ, det forutser gjennombruddsadferd med skifting av tegn, dvs. det forutsier også at Y vil være under gjennomsnittlig neste periode hvis den er over gjennomsnittet i denne perioden. I en andreordens autoregressiv modell ARIMA 2,0,0 ville det være en Y t-2 termen til høyre også, og så videre. Avhengig av tegn og størrelser av koeffisientene, kunne en ARIMA 2,0,0 modell beskrive et system hvis gjennomsnitts reversering foregår i sinusformet oscillerende mote, som bevegelsen av en masse på en fjær som er utsatt for tilfeldige støt. ARIMA 0,1,0 tilfeldig tur Hvis serien Y ikke er stasjonær, er den enkleste mulige modellen for en tilfeldig turmodell, som kan betraktes som et begrensende tilfelle av en AR 1-modell hvor den autoregressive koeffisienten er lik 1, dvs. en serie med uendelig sakte, gjennomsnittlig reversering. Forutsigelsesligningen for denne modellen kan skrives som. hvor konstant sikt er den gjennomsnittlige perioden til periode-endringen, dvs. langsiktig Drift i Y Denne modellen kan monteres som en ikke-avskjæringsrekkefølge gryningsmodell hvor den første forskjellen i Y er den avhengige variabelen Siden den bare inneholder en ikke-soneforskjell og en konstant periode, er den klassifisert som en ARIMA 0,1,0-modell med konstant. Den tilfeldige-walk-uten-drift-modellen ville være en ARIMA 0,1,0-modell uten konstant. ARIMA 1,1,0 differensiert førsteordens autoregressiv modell Hvis feilene i en tilfeldig turmodell er autokorrelert, kan problemet løses ved å legge til et lag av den avhengige variabelen til prediksjonsligning - dvs. ved å regresse den første forskjellen på Y i seg selv forsinket av en periode. Dette ville gi følgende prediksjonsligning. Det kan omarrangeres til. Dette er en førsteordens autoregressiv modell med en rekkefølge av ikke-soneforskjeller og en konstant term - en ARIMA 1,1,0 modell. ARIMA 0,1,1 uten konstant enkel eksponensiell utjevning En annen strategi for å korrigere autokorrelerte feil i en tilfeldig gangmodell er foreslått av den enkle eksponensielle utjevningsmodellen. Husk at for noen ikke-stationære tidsserier, for eksempel de som har støyende fluktuasjoner rundt et sakte varierende middel, utfører ikke den tilfeldige turmodellen så vel som et glidende gjennomsnitt av tidligere verdier. Med andre ord, i stedet for å ta den nyeste observasjonen som prognosen for neste observasjon , er det bedre å bruke et gjennomsnitt av de siste observasjonene for å filtrere ut støy og mer nøyaktig estimere det lokale gjennomsnittet. Den enkle eksponensielle utjevningsmodellen bruker et eksponentielt vektet glidende gjennomsnitt av tidligere verdier for å oppnå denne effekten. Forutsigelsesligningen for Enkel eksponensiell utjevningsmodell kan skrives i en rekke matematisk ekvivalente former, hvorav en er den såkalte feilkorreksjonsformen, der den forrige prognosen er justert i retning av feilen som den gjorde. Fordi e t-1 Y t - 1 - t-1 per definisjon, dette kan omskrives som. som er en ARIMA 0,1,1-uten konstant prognosekvasjon med 1 1 - Dette betyr at du kan passe en enkel eksponentiell smoo ting ved å spesifisere det som en ARIMA 0,1,1 modell uten konstant, og den estimerte MA 1-koeffisienten tilsvarer 1-minus-alfa i SES-formelen. Husk at i SES-modellen er gjennomsnittsalderen for dataene i 1- Forutgående prognoser er 1, noe som betyr at de vil ha en tendens til å ligge bak trender eller vendepunkter med ca. 1 perioder. Det følger at gjennomsnittsalderen for dataene i de 1-årige prognosene for en ARIMA 0,1,1-uten - konstant modell er 1 1 - 1 For eksempel hvis 1 0 8 er gjennomsnittsalderen 5 Når 1 nærmer seg 1, blir ARIMA 0,1,1-uten-konstant modell et veldig langsiktig glidende gjennomsnitt, og som 1 nærmer seg 0 blir det en tilfeldig walk-without-drift-modell. Hva er den beste måten å korrigere for autokorrelasjon, legge til AR-vilkår eller legge til MA-termer I de to foregående modeller diskutert problemet med autokorrelerte feil i en tilfeldig walk-modell ble løst på to forskjellige måter ved å legge til en forsinket verdi av differensierte serier til ligningen eller legge til en forsinket verdi av forecaen st feil Hvilken tilnærming er best En tommelfingerregel for denne situasjonen, som vil bli nærmere omtalt senere, er at positiv autokorrelasjon vanligvis behandles best ved å legge til et AR-uttrykk for modellen og negativ autokorrelasjon vanligvis behandles best av legge til en MA-term I forretnings - og økonomiske tidsserier oppstår negativ autokorrelasjon ofte som en artefakt av differensiering. Generelt reduserer differensiering positiv autokorrelasjon og kan til og med forårsake en bytte fra positiv til negativ autokorrelasjon. Så, ARIMA 0,1,1-modellen, i hvilke differensier er ledsaget av en MA-term, brukes hyppigere enn en ARIMA 1,1,0-modell. ARIMA 0,1,1 med konstant enkel eksponensiell utjevning med vekst Ved å implementere SES-modellen som en ARIMA-modell, får du faktisk noen fleksibilitet Først og fremst kan den estimerte MA 1-koeffisienten være negativ, dette tilsvarer en utjevningsfaktor som er større enn 1 i en SES-modell, som vanligvis ikke er tillatt i SES-modellprosedyren Sec ond, du har muligheten til å inkludere en konstant periode i ARIMA-modellen hvis du ønsker det, for å estimere en gjennomsnittlig ikke-null trend. ARIMA 0,1,1-modellen med konstant har prediksjonsligningen. En-tiden fremover prognosene fra denne modellen er kvalitativt lik SES-modellen, bortsett fra at bane av de langsiktige prognosene typisk er en skrånende linje hvis skråning er lik mu i stedet for en horisontal linje. ARIMA 0,2,1 eller 0, 2,2 uten konstant lineær eksponensiell utjevning Linjære eksponentielle utjevningsmodeller er ARIMA-modeller som bruker to ikke-sekundære forskjeller i sammenheng med MA-termer. Den andre forskjellen i en serie Y er ikke bare forskjellen mellom Y og seg selv forsinket med to perioder, men heller er det den første forskjellen i den første forskjellen - Y-endringen av Y ved periode t Således er den andre forskjellen på Y ved periode t lik Y t-Y t-1 - Y t-1 - Y T-2 Y t - 2Y t-1 Y t-2 En annen forskjell på en diskret funksjon er analog s til et andre derivat av en kontinuerlig funksjon, måles akselerasjonen eller krumningen i funksjonen på et gitt tidspunkt. ARIMA 0,2,2-modellen uten konstant forutser at den andre forskjellen i serien er lik en lineær funksjon av den siste to prognosefeil. som kan omarrangeres som. hvor 1 og 2 er MA 1 og MA 2-koeffisientene Dette er en generell lineær eksponensiell utjevningsmodell som i det vesentlige er den samme som Holt s-modellen, og Brown s-modellen er et spesielt tilfelle. Det bruker eksponentielt vektet Flytte gjennomsnitt for å anslå både et lokalt nivå og en lokal trend i serien. De langsiktige prognosene fra denne modellen konvergerer til en rett linje hvis skråning avhenger av den gjennomsnittlige trenden observert mot slutten av serien. ARIMA 1,1,2 uten konstant fuktet trend lineær eksponensiell utjevning. Denne modellen er illustrert i de tilhørende lysbildene på ARIMA-modeller. Det ekstrapolerer den lokale trenden i slutten av serien, men flater ut på lengre prognoshorisont for å introdusere en Conservatism, en praksis som har empirisk støtte. Se artikkelen om Hvorfor Damped Trend fungerer av Gardner og McKenzie og Golden Rule-artikkelen av Armstrong et al for detaljer. Det er generelt tilrådelig å holde fast i modeller der minst en av p og q er ikke større enn 1, det vil si ikke å passe på en modell som ARIMA 2,1,2, da dette sannsynligvis vil føre til overfitting og fellesfaktorproblemer som blir nærmere omtalt i notatene om matematisk struktur av ARIMA modeller. Spreadsheet implementering ARIMA modeller som de som er beskrevet ovenfor er enkle å implementere på et regneark. Prediksjonsligningen er bare en lineær ligning som refererer til tidligere verdier av originale tidsserier og tidligere verdier av feilene. Dermed kan du sette opp et ARIMA prognose regneark ved å lagre dataene i kolonne A, prognoseformelen i kolonne B og feildataene minus prognosene i kolonne C Forutsigelsesformelen i en typisk celle i kolonne B ville rett og slett være en lineær ekspresjon n som refererer til verdier i forrige rader med kolonner A og C, multiplisert med de relevante AR - eller MA-koeffisientene lagret i celler andre steder på regnearket. Utviklingsregistrerte integrerte bevegelige gjennomsnittlige ARIMA-modeller 1. Presentasjon på tema Autoregressive Integrerte Flytende Gjennomsnittlige ARIMA-modeller 1 Presentasjonstrykk. 1 Autoregressive Integrerte Flytende Gjennomsnittlige ARIMA-modeller 1.2 2 - Prognostiseringsteknikker basert på eksponensiell utjevning - Generell antagelse for ovennevnte modeller ganger seriedata er representert som summen av to forskjellige komponenter deterministc blir svært liten i absolutt verdi etter lag q.19 ​​Første ordre Moving Gjennomsnittlig prosess MA 1 Autokovarianse av MA q Autokorellering av MA q 19 q 1,20 20 - Man bare begrenset antall forstyrrelser bidrar til dagens verdi av tidsserier - Tag i betraktning alle forstyrrelser fra tidligere bruk av autoregressive modeller anslår uendelig mange vekter som følger et tydelig mønster med et lite antall parametere.24 Første ordreautoregress Ive-prosess, AR 1 Anta at bidragene til forstyrrelser som har vært i fortiden, er små sammenlignet med de siste forstyrrelsene som prosessen har opplevd. Reflektere de reduserende størrelsene av bidragene fra fortidens forstyrrelser gjennom et sett av uendelig mange vekter i nedadgående størrelser, som for eksempel Vektene i forstyrrelsene som starter fra den nåværende forstyrrelsen og går tilbake i løpet av de siste 24 Eksponensiell forfallsmønster.25 Første ordre autoregressiv prosess AR 1 AR 1 stasjonær hvis 25 der HVORFOR AUTOREGRESSIVE.26 Betydning AR 1 Autokovariansfunksjon AR 1 Autokorrelasjonsfunksjon AR 1 26 ACF for en stasjonær AR 1-prosess har en eksponensiell forfall form.27 27 Observer-observasjonene viser oppe bevegelser.28 Second Order Autoregressive Process, AR 2 28 Denne modellen kan representeres i uendelig MA formdemping faktor R frekvens periode.36 36 Case III en ekte rot m 0 m 1 m 2 m 0 ACF danner eksponensiell decay mønster.37 37 AR 2 prosess yt 4 0 4y t-1 0 5y t-2 et Roter av den polynomielle reelle ACF-formblandingen av 2 eksponensielle henfallsterminer.38 38 AR 2 prosess yt 4 0 8y t-1 -0 5y t-2 et Roter av polynomkomplekskonjugatene ACF danner dempet sinusoid oppførsel. 39 39 Generell autoregressiv prosess, AR p Vurder en ordre AR-modell eller 40 40 AR P stasjonær Hvis polynomens røtter er mindre enn 1 i absolutt verdi AR P absolutt summable uendelig MA-representasjon Under den forrige tilstanden.41 41 Vekter av de tilfeldige sjokkene as.42 42 For stasjonære AR s.43 43 ACF p ordre lineære differens-ligninger AR p-tilfredsstiller Yule-Walker-ligningene - ACF kan bli funnet fra p-røttene til det tilhørende polynomet, f. eks. tydelig ikke nødvendigvis en AR-prosess - For en hvilken som helst fast verdi k, Yule-Walker-ligningene for ACF av en AR p-prosessklasse imagelink uk-tekst-stor uk-margin-liten-venstre uk-margin-liten-høyre 47 47 Delvis autokorrelasjonsfunksjon PACF mellom yt ikke nødvendigvis en AR-prosess-For en hvilken som helst fast verdi k, svarer Yule-Walker ioner for ACF av en AR p-prosess p bør være null. Overvei-en stasjonær tidsserie yt ikke nødvendigvis en AR-prosess-For en hvilken som helst fast verdi k, Yule-Walker-ligningene for ACF av en AR p-prosess tittel 47 Delvis autokorrelasjonsfunksjon PACF mellom yt ikke nødvendigvis en AR-prosess-For en hvilken som helst fast verdi k, Yule-Walker-ligningene for ACF av en AR p-prosess.48 48 Matrise notasjonsløsninger For en gitt k, k 1,2, kalles den siste koeffisienten delvis autokorrelasjonskoeffisient av prosessen ved lag k AR p-prosess Identifiser rekkefølgen av en AR-prosess ved å bruke PACF.49 49 Avbrudd etter 1ste lag Forfallsmønster AR 2 MA 1 MA 2 Avfallsmønster AR 1 AR 2 Slår av etter 2 nd lag.50 50 Invertibility of MA modeller Inverterbar glidende gjennomsnittlig prosess MA q prosessen er inverterbar hvis den har en absolutt summable uendelig AR-representasjon Det kan vises Den uendelige AR-representasjon for MA q.51 51 Oppnå Vi trenger tilstand av invertibilitet Røttene av det tilhørende polynomet være mindre enn 1 i absolutt verdi. En inverterbar MA q-prosess kan deretter skrives som en uendelig AR-prosess.52 52 PACF av en MA q-prosess er en blanding av eksponentielle decay-fuktige sinusformede uttrykk Ved modellidentifikasjon, bruk begge prøve-ACF-prøve PACF PACF muligens aldri kuttet av. 53 53 Blandet autoregressiv Moving Gjennomsnittlig ARMA Prosess ARMA p, q modell Juster eksponentiell forfallsmønster ved å legge til noen få vilkår.54 54 Stasjonaritet av ARMA p, q prosess Relatert til AR-komponenten ARMA p, q stasjonær hvis røtter av polynomet mindre enn en i absolutt verdi ARMA p, q har en uendelig MA-representasjon.55 55 Invertibility of ARMA p, q prosess Invertibility of ARMA prosess relatert til MA komponenten Kontroller gjennom polynomens røtter Hvis røttene er mindre enn 1 i absolutt verdi da ARMA p, q er inverterbar, har en uendelig representasjon. Koeffisienter.56 56 ARMA 1,1 Eksempel på ACF PACF eksponensiell forfall .60 60 Ikke-stationær prosess Ikke konstant nivå, oppviser homogen oppførsel over time yt er homogen, ikke-stasjonær hvis - Det er ikke stasjonært - Det er første forskjell, wtyt - y t-1 1-B yt eller høyere rekkefølge forskjeller wt 1-B dyt produserer en stasjonær tidsserie Y t autoregressive integrert glidende gjennomsnitt av rekkefølge p, d, q ARIMA p, d, q Hvis d-forskjellen, gir wt 1-B dyt en stasjonær ARMA p, q prosess ARIMA p, d, q.61 61 Den tilfeldige turprosessen ARIMA 0,1,0 enkleste ikke - stasjonær modell Første differensiering eliminerer seriell avhengighet gir en hvit støyprosess.62 62 yt 20 y t-1 et Bevis på ikke-stasjonær prosess-Eksempel ACF dør langsomt ut - Eksempel PACF signifikant ved første lag-Prøve PACF-verdi ved lag 1 nær 1 Første forskjell - Tids-serie plot av wt-stasjonær - Sample ACF PACF viser ingen signifikant verdi - En bruk ARIMA 0,1,0,63 63 Den tilfeldige turprosessen ARIMA 0,1,1 Uendelig AR-representasjon, avledet fra ARIMA 0, 1,1 IMA 1,1 uttrykt som en eksponentiell vektet glidende gjennomsnittlig EWMA av alle tidligere verdier.64 64 ARIMA 0,1,1-Prosent av pro cess beveger seg oppover i tid - Eksempel ACF dør relativt sakte - Eksempel PACF 2 signifikante verdier ved lags 1 2 - Første forskjell ser stasjonær ut - Eksempel ACF PACF en MA 1-modell vil være hensiktsmessig for den første forskjellen, dens ACF slår av etter den første lag PACF forfallsmønster Mulig modell AR 2 Sjekk røttene. Det finnes en rekke tilnærminger til modellerings tidsserier. Vi skisserer noen av de vanligste tilnærmingene nedenfor. Tendens, sesongmessige, gjenværende nedbrytninger. En tilnærming er å dekomponere tidsserien til en trend, sesongmessig og gjenværende komponent. Trekk eksponensiell utjevning er et eksempel på denne tilnærmingen Et annet eksempel, kalt sesongløser, er basert på lokalt vektede minste kvadrater og diskuteres av Cleveland 1993. Vi diskuterer ikke sesongløser i denne håndboken. Frekvensbaserte metoder . En annen tilnærming, som ofte brukes i vitenskapelige og tekniske applikasjoner, er å analysere serien i frekvensdomene. Et eksempel på denne tilnærmingen ved modellering av en sinusformet datadata t er vist i strålebøyningsstudiet. Spektralplottet er det primære verktøyet for frekvensanalysen av tidsserier. Utviklede AR-modeller. En felles tilnærming for modellering av univariate tidsserier er den autoregressive AR-modellen Xt delta phi1 X phi2 X cdots phip X At, hvor Xt er tidsserien, At er hvit støy og delta igjen 1 - sum p phii høyre mu med mu som angir prosessmiddelet. En autoregressiv modell er rett og slett en lineær regresjon av dagens verdi av serien mot en eller flere Tidligere verdier av serien Verdien av p kalles rekkefølgen til AR-modellen. AR-modeller kan analyseres med en av ulike metoder, inkludert standard lineære minste kvadratteknikker. De har også en enkel tolkning. Gjennomgang av gjennomsnittlige MA-modeller. En annen felles tilnærming for modellering av univariate tidsseriemodeller er den bevegelige gjennomsnittlige MA-modellen Xt mu At-theta1 A-theta2 A-cdots-thetaq A, hvor Xt er tidsserien, mu er middelverdien av serien, A er hvite lydvilkår, og theta1, ldots, thetaq er parametrene til modellen. Verdien av q kalles rekkefølgen av MA-modellen. Det er en glidende gjennomsnittsmodell konseptuelt en lineær regresjon av dagens verdi av serien mot den hvite støyen eller tilfeldige sjokk av en eller flere tidligere verdier av serien. De tilfeldige sjokkene ved hvert punkt antas å komme fra samme fordeling, typisk en normalfordeling, med plassering på null og konstant skala. Sondringen i denne modellen er at disse tilfeldige støtene propogeres til fremtidige verdier av tidsseriene Tilpasning av MA-estimatene er mer komplisert enn med AR-modeller fordi feilvilkårene ikke er observerbare. Dette betyr at iterative ikke-lineære tilpasningsprosedyrer må brukes i stedet for lineære minstefirkanter. MA-modeller har også en mindre åpenbar tolkning enn AR-modeller. Noen ganger vil ACF og PACF foreslå at en MA-modell ville være et bedre modellvalg, og noen ganger bør både AR og MA-termer brukes i samme modell se Sect ion 6 4 4 5. Legg merke til at feilvilkårene etter at modellen er egnet, bør være uavhengig og følge standardforutsetningene for en univariate prosess. Boks og Jenkins populariserte en tilnærming som kombinerer det bevegelige gjennomsnittet og de autoregressive tilnærmingene i boken Time Series Analysis Forecasting and Control Box, Jenkins og Reinsel, 1994. Selv om begge autoregressive og bevegelige gjennomsnittlige tilnærminger allerede var kjent og ble opprinnelig undersøkt av Yule, var Boxes og Jenkins bidrag i å utvikle en systematisk metodikk for å identifisere og estimere modeller som kan inkludere begge tilnærminger Dette gjør Box-Jenkins-modeller til en kraftig klasse av modeller De neste flere delene vil diskutere disse modellene i detalj.